使用即時示波器進行FFT分析的六大原則
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| 圖1.時域中的100 MHz正弦波及其頻域 中的頻譜顯示了 100 MHz處的一個峰值。 按一下任何圖像以放大。 |
以下文章發表在《信號完整性雜誌》上，經《信號完整性雜誌》許可，此處摘錄。
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我們生活在時域中。這是我們衡量所有數位性能的地方。但有時，我們可以通過繞道頻域來更快地得到答案。
通過這六個原則，我們可以瞭解示波器如何將時域測量轉換為頻域檢視。
所有六個原理均由具有內置FFT功能的示波器“在引擎蓋下”應用。（我們的注：也包括專為光譜分析設計的軟體包，例如SPECTRUM-1和SPECTRUM-PRO-2R選項。
1. 頻譜是正弦波分量的組合
在頻域中，我們唯一可以考慮的波形是正弦波。還有其他特殊的波形組合可以描述任何時域波形，例如勒讓德多項式，Hermite多項式甚至小波。我們挑出正弦波作為頻域描述的原因是，正弦波是二階、線性、微分方程的解——這些方程在涉及電阻器、電容器和電感元件的電路中經常出現。這意味著，當使用正弦波組合時，與RLC電路產生或相互作用的信號描述比任何其他功能都更簡單，因為正弦波自然會發生。
由示波器測量的正弦波在採集緩衝器（圖1）中具有100萬個電壓時間[V（t）]數據點，在頻域中僅用三個數位描述：頻率值、幅度值和相位值。這是對原始複雜波形的顯著簡化。
2. 將波形無限附加到自身，創建週期性波形
當我們在時域中獲取波形並將其轉換為頻域時，我們最終會得到一組正弦波，每個正弦波都有一個頻率值、一個幅度和一個相位。
在時域中，我們將測量值描述為具有總採集時間T和樣本之間時間間隔ΔT的採集緩衝區。
當我們在頻域中描述相同的波形時，我們將所有正弦波分量的集合（每個分量都有頻率、幅度和相位）稱為頻譜。
不幸的是，我們只能在週期性的V（t）波形上使用離散傅立葉變換（DFT）。如果它不是週期性的，我們必須人為地使它週期性。
我們用來將測量數據的任何任意採集緩衝器轉換為週期波形的技巧是獲取總時間T的採集緩衝器，並在過去永遠重複它，在將來永遠重複它。
當我們有這種人為重複的波形時，我們可以應用DFT的功率來數學計算頻譜中的每個頻率分量。
以下是用於計算每個頻率分量的幅度和相位的公式：
這些積分在頻譜中創建某些特徵。
3. 頻譜中僅出現離散頻率;最低的是根本
在計算的頻譜中，僅顯示離散頻率值。最低頻率分量稱為基波。
它是我們可以放入採集緩衝時間的最低頻率正弦波。這個最低頻率正弦波的週期P是總採集時間T。
由於P等於T，基頻為：
頻譜中的每個頻率分量的頻率僅為基波的整數倍：
基波的倍數是我們將在頻譜中看到的唯一頻率分量。
這意味著，每個頻率分量之間的頻率間隔或解析度是基頻。
如果我們想要更高的解析度來區分頻譜中間隔較近的頻率特徵，我們需要在示波器中使用更長的採集時間。
4.最高頻率是奈奎斯特，或採樣率的一半
頻譜中的最高頻率分量與緩衝區中採樣點之間的時間間隔有關。至少，我們需要在一個週期內測量兩個V（t）點，以便計算該頻率分量的幅度和相位值。這意味著我們可以計算的最高頻率正弦波的週期是時間間隔的兩倍，或 Pmax = 2 x ΔT。
頻譜中最高的頻率分量也稱為奈奎斯特頻率。
由於獲取數據的採樣率為奈奎斯特頻率的 1/ΔT，因此我們可以計算正弦波分量的最高頻率是採樣率的一半。如果採樣率為 10 GS/s，則奈奎斯特頻率為 5 GHz。
理想正弦波的平均值始終為 0。
這意味著，當我們使用一組正弦波來描述真實波形時，重新創建的時域波形的平均值始終為0。
但實際波形具有平均值或直流偏移。為了解決這個問題，我們將直流分量存儲在0 Hz頻率分量中，這是0 x基波。在大多數示波器上，您可以抑制繪製第0個頻率分量以放大顯示器的刻度。
5. FFT 通過將緩衝區截斷為 2^n 個採樣點來加快計算速度
一百萬個數據點將涉及大約1萬億次 DFT 計算來創建一個頻譜。
這使得計算時間比方便的時間長。
為了解決這個問題，我們使用了一個更快的DFT版本，稱為快速傅里葉變換（FFT）。
它計算與 DFT 相同的積分，但它應用矩陣數學來使用點總數為 2 的冪來執行計算。
如果緩衝區中有 100 萬個點，則 FFT 計算中可以包含的最大點數為 2^19 = 524，288 個點。我們丟棄了幾乎一半的測量數據，以獲得令人難以置信的快速計算時間。
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| 圖 2 垂直虛線之間是 採集緩衝區的區域，其中包含將在FFT中使用的 2^n個點。 |
執行FFT的第一步是定義採集緩衝區的區域，其中包含將要計算的2^n個點。
大多數示波器允許您選擇時域螢幕的中心區域或左邊緣的計數。
圖 2 顯示了螢幕上突出顯示的 FFT 計算中將包含的區域。
當採集緩衝時間為1 μs，並且我們有100萬個點時，我們預計基波為1 MHz。
在頻譜中，FFT採集緩衝器小於此值，這意味著實際解析度略大於1 MHz。
但是，在考慮頻譜特徵時，這些估計仍然是一個很好的價值。
6. 視窗功能可防止因截斷而導致光譜洩漏
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| 圖3.採集緩衝器中沒有 整數個週期數的正弦波示例。 追加時，緩衝器每個邊緣的波形都有一個不連續性。 圖片由美國國家儀器公司提供。 |
為了創建週期波形，我們採用採集緩衝器並無限期地重複它。使用 FFT 函數時，我們進一步截斷採集緩衝區並無限期地重複截斷的緩衝器。
這意味著在每個附加採集緩衝器的邊界處，對應於一個緩衝器的結尾和下一個緩衝器的開始的波形可能存在不連續性（圖 3）。
通常，在每個緩衝器中具有整數個週期的正弦波的頻譜在其峰值頻率處將具有單個尖峰。
但是，如果由於截斷的採集緩衝器而人為地切斷了正弦波，則無限長的波形現在將具有不連續性，這將迫使峰值頻率中的一些頻率分量進入相鄰的頻率分量，這可能導致窄峰值失真。
這種效應稱為光譜洩漏。
這是由於第一個電壓值與最後一個電壓值不同而導致緩衝器邊界處不連續性的偽影。減少此偽影的方法是通過將整個採集緩衝區乘以視窗函數來人為地減少不連續性。
這會逐漸強制採集緩衝器末端的電壓值為0，從而保證一個緩衝器的末端與下一個緩衝器的開頭連續。
有許多常用的視窗函數。它們的不同之處在於它們允許的光譜洩漏量和由此產生的解析度。
除非您有充分的理由，否則我們建議您始終使用 von Hann（有時稱為 Hanning）或 Blackman-Harris 函數。
分析頻域中的時域波形
頻譜分析的價值在於能夠識別重複信號的頻譜「指紋」，其頻率在基波（1/採集緩衝器）和奈奎斯特（1/2 x採樣率）之間的範圍內。
每次示波器測量新的時域電壓採集緩衝器時，都會顯示新計算的頻譜回應。
隨著源中的週期性信號發生變化，它們的光譜指紋也會發生變化。
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| 圖4.輸出負載變化時SMPS輸出 的即時頻譜，顯示峰值頻率的時間變化。 |
任何可能有助於識別給定頻率的週期信號的應用都是即時頻譜分析的絕佳候選者。
最常見的應用是搜索重要信號的干擾源。
圖4顯示了開關模式電源（SMPS）負載變化時輸出的頻譜回應。
大約50 kHz處的峰值（開關頻率）隨負載變化而變化，如圖上部的頻譜圖所示。
當您在放大器的雜訊或振蕩器的抖動中觀察這些頻率分量時，您就會知道可能的根本原因。
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| 圖5.測量的USB電源軌 雜訊的即時頻譜，顯示探頭拾取的FM無線電頻段中的大型分量 。 |
在查看RF干擾頻譜時，我們通常可以拾取特定的通信信號。
圖5顯示了使用帶有大尖端環路的10倍探頭測量的USB供電設備中電源軌的實時頻譜。
頻譜指紋顯示從87 MHz到108 MHz的FM無線電頻段的拾音。
